多元积分柱面坐标问题

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截出来的图像是母线为曲线的类圆台，关于z轴对称，每个被垂直于z轴的平面所截的图形都是圆，故可用柱坐标求解，见下图：

首先说明下，这不是要用投影法，只是这样直观方便点。

明显有x=ρcosθ，y=ρsinθ，因为是积分整个圆，故θ取[0，π]，ρ的有效长度是[0，r]。一个个圆地往上积分，那么ρ的上限就不断变化，这是由于类圆台的母线是曲线z=r?=ρ?≥(x?+y?)，母线上的点的投影对应为ρ的上限，即不同的z值，对应的ρ会有不同的上限，故ρ的上限是曲线函数√z而非常数，最后对z积分，明显z取[1，2]。

于是

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、先一后二即柱坐标投影法：因为这方法可直接变为二重积分先把z的积分算出来，然后计算xOy面的积分。

先一后二法投影法，先计算竖直方向上的一竖条积分，再计算底面的积分。

①区域条件：对积分区域Ω无限制；

②函数条件：对f（x,y,z）无限制。

2、先二后一即柱坐标截面法：

这个方法的原理就是把横截面面积A(z)加起来，就形式体积元素了，横截面面积会随着z而变化所以横截面A(z)是关于x和y的二重积分。

先二后一法（截面法）：先计算底面积分，再计算竖直方向上的积分。

①区域条件：积分区域Ω为平面或其它曲面（不包括圆柱面、圆锥面、球面）所围成

②函数条件：f（x，y）仅为一个变量的函数。

扩展资料：