笔试题1：最长严格递增子序列

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小希偶然得到了传说中的月光宝盒,然而打开月光宝盒需要一串密码。虽然小希并不知道密码具体是什么，但是月光宝盒的说明书上有着一个长度为 n (2 <= N <= 50000)的序列 a (-10^9 <= a[i] <= 10^9)的范围内。下面写着一段话：密码是这个序列的最长的严格上升子序列的长度(严格上升子序列是指，子序列的元素是严格递增的，例如: [5,1,6,2,4]的最长严格上升子序列为[1,2,4])，请你帮小希找到这个密码。

本题是一道动态规划问题，如果暴力求解的话，每一个数都有选或者不选两种状态，然后判断是否为上升子序列，如果是，就更新最长长度，直到枚举完所有情况。但是，当有n个元素的时候，其复杂度将达到O(2^n)，这显然是不可承受的。

所以利用动态规划可以显著的降低复杂度。

令dp[i]表示以a[i]结尾的最长上升子序列的长度，对a[i]来说有两种可能：

1)如果在i之前存在比a[i]小的数a[j]（j < i），并且dp[j] + 1 > dp[i]（即把a[i]放到以a[j]结尾的子序列之后其长度大于当前以a[i]结尾的子序列的长度），那么就把a[i]放到之前以a[j]结尾的子序列之后，并令其长度＋1（即dp[i] = dp[j] + 1）；

2)如果a[i]之前的所有数都比它大，那么只能a[i]自身成一个子序列，其长度为1。

思路二

如果遇到的元素比备选集合里面的元素都大，那么就添加进去，使得上升序列长度增加；

如果遇到的元素比备选集合里最后一个元素小，那么代表它无法被添加到备选集。但是为了使后面得到上升序列的机会增加，需要在不破坏集合上升属性和元素总数的情况下，替换掉备选集中的元素，那么就是替换掉大于他的元素中最小的那个，这样才能满足条件。

这时候，发现备选集一直是保持有序，寻找替换元素的时候就可以用到二分查找，得到O(n log n)的时间复杂度。其中还要注意的是如果元素已经在备选集合中，是不需要任何操作的，因为它并不能增加上升序列的长度，也不会增加之后遇到上升序列的机会，所以直接跳过。

这个做法的精髓是即使用小的元素替换掉中间的元素，备选集的大小不变，还是原来的大小，

蓝桥杯算法考点：

基础算法。一星：打表，枚举，倍增，离散化，差分。二星：分治法，贪心（Huffman编码），尺取法，二分法，三分法，整体二分，ST算法。